设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞

题型：解答题难度：一般来源：崇文区二模

设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．
（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；
（2）证明：f（x）在R 上单调递减；
（3）设A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，确定a 的范围．

答案

（1）证明：f（m+n）=f（m）•f（n），
令m＞0，n=0，⇒f（m）=f（m）f（0）
已知x＞0时0＜f（x）＜1．
⇒f（0）=1
设m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）
⇒f（0）=f（m+n）=f（m）f（n）=1⇒f（m）＞1，即当x＜0时f（x）＞1　…（4分）
（2）∀x₁＜x₂∈R，则x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0⇒f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0
∴f（x）在R 上单调递减．　　　　　　　　　　　　　　…（10分）
（3）f（x²）f（y²）＞f（1）⇒f（x²+y²）＞f（1）
f（x）在R上单调递减
⇒x²+y²＜1（单位圆内部分）
f（ax-y+2）=1=f（0）⇒ax-y+2=0（一条直线）
A∩B=φ⇒

2

a 2+1

≥1⇒a2≤3⇒a∈[-

3

，

3

]…（16分）