设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m、n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且x>0时0<f(x)<1.(1)证明:f(0)=1,且x<0时f(x)>

设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m、n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且x>0时0<f(x)<1.(1)证明:f(0)=1,且x<0时f(x)>

题型:解答题难度:一般来源:崇文区二模
设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m、n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且x>0时0<f(x)<1.
(1)证明:f(0)=1,且x<0时f(x)>1;
(2)证明:f(x)在R 上单调递减;
(3)设A={(x,y)|f(x2)•f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,确定a 的范围.
答案
(1)证明:f(m+n)=f(m)•f(n),
令m>0,n=0,⇒f(m)=f(m)f(0)
已知x>0时0<f(x)<1.
⇒f(0)=1
设m=x<0,n=-x>0,f(-x)∈(0,1)
⇒f(0)=f(m+n)=f(m)f(n)=1⇒f(m)>1,即当x<0时f(x)>1 …(4分)
(2)∀x1<x2∈R,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,f(x1)>0⇒f(x2)-f(x1
=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0
∴f(x)在R 上单调递减.              …(10分)
(3)f(x2)f(y2)>f(1)⇒f(x2+y2)>f(1)
f(x)在R上单调递减
⇒x2+y2<1(单位圆内部分)
f(ax-y+2)=1=f(0)⇒ax-y+2=0(一条直线)
A∩B=φ⇒
2


a 2+1
≥1
⇒a2≤3⇒a∈[-


3


3
]…(16分)
举一反三
已知A={x|
x-5
2
<-1},若∁AB={x|x+4<-x},则集合B=(  )
A.{x|-2≤x<3}B.{x|-2<x≤3}C.{x|-2<x<3}D.{x|-2≤x≤3}
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知集合A={(x,y)|
y-3
x-2
=a+1}
,B={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15}.若A∩B=∅,则a的所有取值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设A、B是非空数集,定义A⊙B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)},已知集合A={y|y>1},B={y|y=2x,x≤1},则A⊙B=(  )
A.(0,1]∪(2,+∞)B.(0,1)∪(2,+∞)C.[0,1]D.[0,2]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设全集U=R,集合E={y|y>2},F={y|y=x2-2x,-1<x<2}.
(1)求(∁UE)∩F;
(2)若集合G={y|y=log2x,0<x<a},满足G∩F=F,求正实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3,},B={2,4},则A∩(∁UB)(  )
A.{1,3}B.{2,4}C.{1,2,3,5}D.{2,5}
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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