若一次函数f（x）满足f[f（x）]=x+1，则g(x)=f2(x)x(x＞0)的值域为______．

题型：填空题难度：一般来源：不详

若一次函数f（x）满足f[f（x）]=x+1，则g(x)=

f2(x)

x

(x＞0)的值域为______．

答案

设f（x）=kx+b（k≠0）
∴f[f（x）]
=k（kx+b）+b
=k²x+kb+b
=k²x+（k+1）b…①
依题意：f[f（x）]=1+x…②
∴比较①和②的系数可得：
k²=1…③
（k+1）b=1…④
由③④得：k=1，b=

1

2

，k=-1（舍去）
∴f（x）=x+

1

2

则g（x）=

(x+ 1 2 )2

x

=x+

1

4x

+1≥2

x• 1 4x

+1=2
当且仅当x=

1

2

时取等号
∴g(x)=

f2(x)

x

(x＞0)的值域为[2，+∞）
故答案为：[2，+∞）