设函数y=f(x)定义在R上,且满足f(x)≠0,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:对x∈R

设函数y=f(x)定义在R上,且满足f(x)≠0,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:对x∈R

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x)定义在R上,且满足f(x)≠0,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:对x∈R,都有f(x)>0;
(2)求证:f(x)在R上是减函数;
(3)设集合A={(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1},B={(x,y)|y=a},且A∩B=∅,求实数a的取值范围.
答案
(1)证明:令m=n=0得f(0)=f2(0)
∴f(0)=0或f(0)=1
又∵f(x)≠0
∴f(0)=1
当x<0时,-x>0,
∴0<f(-x)<1
∴f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)=1
f(x)=
1
f(-x)
>1

∴x<0时f(x)>1
∴对x∈R,都有f(x)>0
(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2
则x1-x2<0,
∴f(x1-x2)>1
f(x1)
f(x2)
=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)>1

又∵f(x1)>0,f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2
∴f(x)在R上是减函数
(3)A={(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1}
={(x,y)|f(-x2+6x-1+y)=f(0)}
={(x,y)|-x2+6x-1+y=0}
={(x,y)|y=x2-6x+1}

∵A∩B=∅
∴方程x2-6x+1-a=0无实数根
∴△=36-4(1-a)=32+4a<0
∴a<-8
举一反三
已知函数ƒ(x)=





x(x+4)    x<0
x(x-4)    x≥0
则函数f(x)的零点个数为(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
为了在运行下面的程序之后得到输出25,键盘输入x应该是
INPUT x
IF  x<0  THENy=(x+1)∗(x+1)
ELSEy=(x-1)∗(x-1)
END IF
PRINT y
END(  )
A.4或-4B.6或-6C.6或-4D.-4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知对于任意x,y∈R,都有f(x)+f(y)=2f(
x+y
2
)f(
x-y
2
),且f(0)≠0,则f(x)是(  )
A.奇函数B.偶函数
C.奇函数且偶函数D.非奇且非偶函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:
①f(10)=1,
②对任意实数b,f(xb)=bf(x).
(1)求f(1),f(
1
2
),f(
1
4
),及满足f(k-1002)=lg1002的k值;
(2)证明对任意x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y).
(3)证明f(x)是(0,+∞)上的增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足:
①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

②当x∈(-1,0)时,f(x)>0.求证:
(1)f(0)=0;
(2)f(x)在(-1,1)上是减函数;
(3)f(
1
5
)+f(
1
11
)+f(
1
19
)+…+f(
1
n2+3n+1
)>f(
1
2
)
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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