设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：对x∈R
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：对x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x2+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围． |
答案
（1）证明：令m=n=0得f（0）=f2（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
又∵f（x）≠0
∴f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1
∴f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1
∴f(x)=＞1
∴x＜0时f（x）＞1
∴对x∈R，都有f（x）＞0
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则x1-x2＜0，
∴f（x1-x2）＞1
则=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)＞1
又∵f（x1）＞0，f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上是减函数
（3）A={（x，y）|f（-x2+6x-1）•f（y）=1}
| | ={(x，y)|f(-x2+6x-1+y)=f(0)} | | ={(x，y)|-x2+6x-1+y=0} | | ={(x，y)|y=x2-6x+1} |
| |
∵A∩B=∅
∴方程x2-6x+1-a=0无实数根
∴△=36-4（1-a）=32+4a＜0
∴a＜-8 |
举一反三
| 已知函数ƒ（x）=则函数f（x）的零点个数为（ ） |
为了在运行下面的程序之后得到输出25，键盘输入x应该是
INPUT x
IF x＜0 THENy=（x+1）∗（x+1）
ELSEy=（x-1）∗（x-1）
END IF
PRINT y
END（ ） |
已知对于任意x，y∈R，都有f（x）+f（y）=2f（）f（），且f（0）≠0，则f（x）是（ ）| A．奇函数 | B．偶函数 | | C．奇函数且偶函数 | D．非奇且非偶函数 |
|
定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（10）=1，
②对任意实数b，f（xb）=bf（x）．
（1）求f（1），f（），f（），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数． |
定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f()；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）f()+f()+f()+…+f()＞f()． |
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