定义在R上的函数f (x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)],则称函数f (x)是R上的凹函数,已知二次函数
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定义在R上的函数f (x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)],则称函数f (x)是R上的凹函数,已知二次函数
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在R上的函数f (x)满足:如果对任意x
1
,x
2
∈R,都有
f(
x
1
+
x
2
2
)≤
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
,则称函数f (x)是R上的凹函数,已知二次函数f(x)=ax
2
+x(a∈R,a≠0),
(1)当a=1时,试判断函数f (x)是否为凹函数,并说明理由;
(2)如果函数f (x)对任意的x∈[0,1]时,都有|f(x)|≤1,试求实数a的范围.
答案
(1)a=1时,函数f(x)是凹函数,
此时f(x)=x
2
+x,
f(
x
1
+
x
2
2
)
=(
x
1
+
x
2
2
)
2
+(
x
1
+
x
2
2
),
1
2
[f(x
1
)+f(x
2
)]=
1
2
[x
1
2
+x
1
+x
2
2
+x
2
],
作差得到:
f(
x
1
+
x
2
2
)
2
-
1
2
[f(x
1
)+f(x
2
)]
=(
x
1
+
x
2
2
)
2
+(
x
1
+
x
2
2
)-
1
2
(x
1
2
+x
2
2
)-
1
2
(x
1
+x
2
)
=
x
21
+2
x
1
x
2
+
x
22
4
-
2
x
21
+2
x
22
4
=
-
x
21
+2
x
1
x
2
-
x
22
4
=
-(
x
1
+
x
2
2
)
2
≤
0,
即有
f(
x
1
+
x
2
2
)≤
1
2
[f(x
1
)+f(x
2
)],
故知函数f(x)=x
2
+x为凹函数;
(2)由-1≤f(x)=ax
2
+x≤1,
则有
a
x
2
+x≥-1
a
x
2
+x≤1
⇒
a
x
2
≥-x-1
a
x
2
≤-x+1.
i)若x=0时,则a∈R恒成立,
ii)若x∈(0,1]时,有
a≥-
1
x
-
1
x
2
a≤-
1
x
+
1
x
2
⇒
a≥-(
1
x
+
1
2
)
2
+
1
4
(1)
a≤(
1
x
-
1
2
)
2
-
1
4
. (2)
∵0<x≤1⇒
1
x
≥1
.
∴当
1
x
=1时,
a≥-
(1+
1
2
)
2
+
1
4
=-2
a≤
(1-
1
2
)
2
-
1
4
=0
所以0≥a≥-2.
举一反三
函数f(x)=
2
e
x-1
,(x<2)
log
3
(
x
2
-1),(x≥2)
,不等式f(x)>2的解集为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设
f(x)=
x+2,x>0
x-2,x≤0
,则不等式f(x)<x
2
的解集是( )
A.(2,+∞)∪(-∞,0]
B.R
C.[0,2)
D.(-∞,0)
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x
1
、x
2
∈D,有f(x
1
•x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
)
(1)求f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(
6
)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,若f(x+5)+f(x)≥2,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
x+2(x≤-1)
x
2
(-1<x<2)
2x(x≥2)
.
(1)求f(-4)、f(3)、f(f(-2))的值;
(2)若f(a)=10,求a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
1,
x>0
0,
x=0
-1,
x<0
,则方程x
2
f(x-1)=-4的解为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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