假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念,但还没有学习过对数的相关概念.由指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在实数集R上是单调函数,可知指数函数f
题型:解答题难度:一般来源:闸北区一模
假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念,但还没有学习过对数的相关概念.由指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在实数集R上是单调函数,可知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)存在反函数y=f-1(x),x∈(0,+∞).请你依据上述假设和已知,在不涉及对数的定义和表达形式的前提下,证明下列命题: (1)对于任意的正实数x1,x2,都有f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2); (2)函数y=f-1(x)是单调函数. |
答案
证明:(1)设y1=f-1(x1),y2=f-1(x2), 由题意,有x1=ay1,x2=ay2, ∴x1x2=ay1•ay2=ay1+y2, ∴y1+y2=f-1(x1x2),即f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2). (2)当a>1时,y=f-1(x)是增函数. 证明:设x1>x2>0,即ay1>a y2>0, 又由指数函数y=ax(a>1)是增函数,得y1>y2,即f-1(x1)>f-1(x2). ∴当a>1时,y=f-1(x)是增函数. 同理,当0<a<1时,y=logax是减函数. |
举一反三
已知正实数x,y满足lnx+lny=0,且k(x+2y)≤x2+4y2恒成立,则k的取值范围是______. |
已知函数f(x)=log(-x)(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的单调性,并用函数单调性的定义予以证明. |
设定义域为R的奇函数y=f(x)在区间(-∞,0)上是减函数. (1)求证:函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数; (2)试构造一个满足上述题意且在(-∞,+∞)内不是单调递减的函数.(不必证明) |
已知函数f(x)=x-sinx,若x1、x2∈[- , ]且f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是( )A.x1>x2 | B.x1<x2 | C.x1+x2>0 | D.x1+x2<0 |
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已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P(1,2),且在点P处有公切线,则当 x≥时,logb的最小值为( ) |
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