已知函数f(x)=2x+2-x.(1)证明f(x)是偶函数;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x+2-x.(1)证明f(x)是偶函数;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明. |
答案
(1)证明:f(x)的定义域为R,…(1分) 且对于任意x∈R,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)是偶函数.…(4分) (2)f(x)是(0,+∞)上的增函数.…(5分) 证明如下:设x1,x2是(0,+∞)上的两个任意实数,且x1<x2,则△x=x1-x2<0,△y=f(x1)-f(x2)=(2x1+)-(2x2+)=2x1-2x2+-=2x1-2x2+=(2x1-2x2)(1-). 因为0<x1<x2,所以 2x1<2x2,2x1+x2>1,所以2x1-2x2<0,1->0,从而△y<0, 所以f(x)是(0,+∞)上的增函数.…(10分) |
举一反三
已知函数f(x)=,则函数f(log23)的值为______. |
设函数f(x),g(x)的定义域都是D,又h(x)=f(x)+g(x).若f(x),g(x)的最大值分别是M、N,最小值分别是m、n,给出以下四个结论: (1)h(x)的最大值是M+N; (2)h(x)的最小值是m+n; (3)h(x)的值域是{y|m+n≤y≤M+N}; (4)h(x)的值域是{y|m+n≤y≤M+N}的一个子集. 则正确结论的个数是( ) |
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)•f(y)(x,y∈R),且当x>0时,f(x)>1;f(2)=4. (Ⅰ)求f(1),f(-1)的值; (Ⅱ)证明:f(x)是单调递增函数; (III) 若f(x2-ax+a)≥对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. |
已知不等式(2a+3)cos(θ-)+-2sin2θ<3a+6对于θ∈[0,]恒成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=. (1)用单调性的定义证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数; (2)若关于x的方程f(x)-3x-m=0在x∈[1,+∞)上有解,求实数m的最大值; (3)是否存在负数x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,请说明理由. |
最新试题
热门考点