设a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)写出函数f(x)的单调区间.
题型:解答题难度:一般来源:金山区一模
设a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)写出函数f(x)的单调区间. |
答案
(1)当a=0时,f(x)=x|x|,所以f(x)为奇函数…(1分) 因为定义域为R关于原点对称,且f(-x)=-x|-x|=-f(x),所以f(x)为奇函数.…(3分) 当a≠0时,f(x)=x|x-a|为非奇非偶函数,…(4分) f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a) 所以f(x)是非奇非偶函数.…(6分) (2)当a=0时,f(x)=,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);…(8分) 当a>0时,f(x)= f(x)的单调递增区间为(-∞,)和(a,+∞);…(10分) f(x)的单调递减区间为(,a);…(12分) 当a<0时,f(x)= f(x)的单调递增区间为(-∞,a)和(,+∞);…(14分) f(x)的单调递减区间为(a,)…(16分) |
举一反三
函数y=f(x)(x∈R)满足:对一切x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=;当x∈[0,1)时,f(x)=,则f(2009-)=( ) |
已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有( )A.f(p+1)>0 | B.f(p+1)<0 | C.f(p+1)=0 | D.f(p+1)的符号不能确定 |
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已知函数f(x)= | x2 | (x∈[0,+∞)) | -x2+a2-3a | +2(x∈(-∞,0)) |
| | 在区间(-∞,+∞)是增函数,则常数a的取值范围是 ( )A.a≤1或a≥2 | B.1≤a≤2 | C.1<a<2 | D.a<1或a>2 |
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已知函数f(x)=log2x,F(x,y)=x+y2,则F(f(),1)等于______. |
函数y=log0.2(x2-3x+2)的增区间是______. |
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