根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
题型:解答题难度:一般来源:不详
根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. |
答案
证明:证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2且x1<x2 则f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) ∵x1<x2, ∴x1-x2<0. 当x1x2<0时,有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0; 当x1x2≥0时,有x12+x1x2+x22>0; ∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0. 即f(x2)<f(x1) 所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22). ∵x1<x2, ∴x1-x2<0. ∵x1,x2不同时为零, ∴x12+x22>0. 又∵x12+x22>(x12+x22)≥|x1x2|≥-x1x2 ∴x12+x1x2+x22>0, ∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0. 即f(x2)<f(x1). 所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. |
举一反三
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2),则f()等于______. |
函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上为增函数,则a的范围是______. |
已知:函数f(x)=x3+px2+9qx+p+q+3 (x∈R)的图象关于原点对称,其中p,q是实常数. (1)求p,q的值; (2)确定函数f(x)在区间[-3,3]上的单调性; (3)若当-3≤x≤3时,不等式f(x)≥10sint-49恒成立,求实数t的取值范围. |
已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>ba. |
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等. (1)求a的值; (2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间; (3)若n为正整数,证明:10f( n )•( )g( n )<4. |
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