已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）判断f（x）在[-1，1]上的单

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（

1

x-1

）．

答案

（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
据已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

，解得-2≤x＜-

2

，
故不等式的解集为{x|-2≤x＜-

2

}．