设f(x)=1x+2+1g1-x1+x(Ⅰ)证明f(x)在(-1,1)上是减函数;(Ⅱ)若f(x)的反函数为f-1(x),试证明方程f-1(x)=0只有唯一解;
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设f(x)=1x+2+1g1-x1+x(Ⅰ)证明f(x)在(-1,1)上是减函数;(Ⅱ)若f(x)的反函数为f-1(x),试证明方程f-1(x)=0只有唯一解;
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设
f(x)=
1
x+2
+1g
1-x
1+x
(Ⅰ)证明f(x)在(-1,1)上是减函数;
(Ⅱ)若f(x)的反函数为f
-1
(x),试证明方程f
-1
(x)=0只有唯一解;
(Ⅲ)解关于x的不等式:
f[x(x-
1
2
)]
<
1
2
.
答案
证明:(I)f(x)在(-1,1)上递减
函数的定义域为
x+2≠0
1-x
1+x
>0
解得x∈(-1,1)
∵
f′(x)=-
1
(x+2)
2
-
2
1-
x
2
ln10
<0
∴f(x)在(-1,1)上递减
(II)∵f(x)与f
-1
(x)的单调性相同
∴f
-1
(x)在定义域上递减
∵
f(0)=
1
2
∴
f
-1
(
1
2
)=0
∴f
-1
(x)=0有解,且唯一
(III)原不等式同解于
f[x(x-
1
2
)]<f(0)
∵f(x)在(-1,1)上递减
∴
-1<x(x-
1
2
)<1
x(x-
1
2
)>0
解得
1
2
<x<
1+
17
4
或
1-
17
4
<x<0
∴解集为
{x|
1
2
<x<
1+
17
4
或
1-
17
4
<x<0}
.
举一反三
已知函数f(x)=
x(x+4),x≥0
x(x-4),x<0
,则f(a+1)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
2
+2ax+4(0<a<3),若x
1
<x
2
,x
1
+x
2
=1-a,则( )
A.f(x
1
)<f(x
2
)
B.f(x
1
)=f(x
2
)
C.f(x
1
)>f(x
2
)
D.f(x
1
)与f(x
2
)的大小不能确定
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
x+a
ax+a-2
,f(2)=1.
(1)求a的值; (2)求证:函数f(x)在(-∞,0)内是减函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=
2
-x
-1 x≤0
x
1
2
x>0
,则f[f(-1)]=( )
A.0
B.1
C.
-
1
2
D.2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a
2
)<0,则a的取值范围是( )
A.
(2
2
,3)
B.
(3,
10
)
C.
(2
2
,4)
D.(-2,3)
题型:单选题
难度:一般
|
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