已知f(x)=loga1+x1-x(其中a>0且a≠1),定义域为(-1,1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)函数f(x)的零点是否存在?若存在,试求出其零
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已知f(x)=loga1+x1-x(其中a>0且a≠1),定义域为(-1,1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)函数f(x)的零点是否存在?若存在,试求出其零
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
f(x)=lo
g
a
1+x
1-x
(其中a>0且a≠1)
,定义域为(-1,1).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)函数f(x)的零点是否存在?若存在,试求出其零点;若不存在,请说明理由.
(3)讨论f(x)函数的单调性.
答案
(1)∵函数f(x)的定义域为(-1,1),它关于原点对称,
又f(-x)=
lo
g
a
1-x
1+x
=lo
g
a
(
1+x
1-x
)
-1
=-
lo
g
a
1+x
1-x
=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数;
(2)令f(x)=
lo
g
a
1+x
1-x
=0
⇒
1+x
1-x
=1
⇒1+x=1-x⇒x=0,
又0∈(-1,1),
故f(x)有零点0;
(3)设-1<x
1
<x
2
<1,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
lo
g
a
1+
x
1
1-
x
1
-
lo
g
a
1+
x
2
1-
x
2
=
lo
g
a
(
1-
x
2
1-
x
1
•
1+
x
1
1+
x
2
)
,
∵-1<x
1
<x
2
<1,∴0<1-x
2
<1-x
1
<2,0<1+x
1
<1+x
2
<2,
∴0<
1-
x
2
1-
x
1
<1,0<
1+
x
1
1+
x
2
<1,
∴
0<
1-
x
2
1-
x
1
•
1+
x
1
1+
x
2
<1
,
当0<a<1时,f(x
1
)-f(x
2
)>0,
∴函数f(x)是在定义域上减函数.
当a>1时,f(x
1
)-f(x
2
)<0,函数f(x)在定义域上是增函数.
举一反三
函数
y=
a+1
x
在x∈(0,+∞)上是增函数,则( )
A.a>0
B.a<0
C.a>-1
D.a<-1
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=log
2
(1+x)+log
2
(1-x)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求
f(
2
2
)
的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=f′(
π
4
)cosx+sinx,则f(
π
4
)的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
x
2
-x
(x≥0)
x+1
(x<0)
,则f(2)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|,
(Ⅰ)当a=2时,写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值;
(Ⅲ)设a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m、n的取值范围(用a表示).
题型:解答题
难度:一般
|
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