(I)证明:∵x>0,∴f(x)= ∴f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数. 由0<a<b,且f(a)=f(b),可得 0<a<1<b和-1=1-,即+=2. ∴2ab=a+b>2.…(3分) 故>1,即ab>1.…(4分) (II)不存在满足条件的实数a,b. 若存在满足条件的实数a,b,使得函数y=f(x)=|1-|的定义域、值域都是[a,b], 则a>0,f(x)= ①当a,b∈(0,1)时,f(x)=-1在(0,1)上为减函数. 故,即,解得a=b. 故此时不存在适合条件的实数a,b.…(6分) ②当a,b∈[1,+∞)时,f(x)=1-在(1,+∞)上是增函数. 故,即 此时a,b是方程x2-x+1=0的根,此方程无实根. 故此时不存在适合条件的实数a,b.…(8分) ③当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于1∈[a,b],而f(1)=0∉[a,b], 故此时不存在适合条件的实数a,b. 综上可知,不存在适合条件的实数a,b.…(10分) (III)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb]. 则a>0,m>0. ①当a,b∈(0,1)时,由于f(x)在(0,1)上是减函数,故. 此时刻得a,b异号,不符合题意,所以a,b不存在. ②当a∈(0,1)或b∈[1,+∞)时,由( II)知0在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在. 故只有a,b∈[1,+∞). ∵f(x)=|1-|在[1,+∞)上是增函数, ∴,即 ∴a,b是方程mx2-x+1=0的两个根,即关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的实根.…(12分) 设这两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1•x2=. ∴ | △>0 | (x1-1)+(x2-1)>0 | (x1-1)(x2-1)>0. |
| | ,即 解得0<m<. 故m的取值范围是0<m<.…(14分) |