已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=3,则f(2)=______;f(2005)=______.

已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=3,则f(2)=______;f(2005)=______.

题型:填空题难度:简单来源:不详
已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=3,则f(2)=______;f(2005)=______.
答案
∵f(x+1)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=3,
∴f(x+1)=
1+f(x)
1-f(x)

∴f(2)=
1+f(1)
1-f(1)
= -
4
2
 =-2

∵f(x+2)=
1+f(x+1)
1-f(x+1)
=
1+
1+f(x)
1-f(x)
1- 
1+f(x)
1-f(x)
=-
1
f(x)

∴f(x+4)=-
1
f(x+2)
=f(x),
∴T=4,
∴f(2005)=f(4×501+1)=f(1)=3.
故答案为:-2,3.
举一反三
对于任意实数x,符号[x]表示x的整数部分,即[x]是不超过x的最大整数.在实数轴(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点,当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”也叫高斯(Gauss)函数.
从[x]的定义可得下列性质:x-1<[x]≤x<[x+1].
与[x]有关的另一个函数是{x},它的定义是{x}=x-[x],{x}称为x的“小数部分”.
(1)根据上文,求{x}的取值范围和[-5,2]的值;
(2)求[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]的和.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x+2)=





tanx(x≥0)
lg(-x)(x<0)
,则f(
π
4
+2)•f(-98)
等于(  )
A.
1
2
B.-
1
2
C.2D.-2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=log3x.
(Ⅰ)若关于x的方程f(ax)•f(ax2)=f(3)的解都在区间(0,1)内,求实数a的范围;
(Ⅱ)若函数f(x2-2ax+3)在区间[2,+∞)上单调递增,求正实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
x


1-x2
(  )
A.在(-1,1)上单调递增
B.在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减
C.在(-1,1)上单调递减
D.在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.求实数m的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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