已知g(x)是对数函数,且它的图象恒过点(e,1).f(x)是二次函数,且不等式f(x)>0的解集是(-1,3),且f(0)=3.(1)求g(x)的解析式(2)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知g(x)是对数函数,且它的图象恒过点(e,1).f(x)是二次函数,且不等式f(x)>0的解集是(-1,3),且f(0)=3. (1)求g(x)的解析式 (2)求f(x)的解析式; (3)求y=f(x)-g(x)的单调递减区间. |
答案
(1)设g(x)=logax(a>0,且a≠1), 由g(x)的图象过点(e,1),得1=logae,解得a=e, 所以g(x)=lnx; (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=3,得c=3,则f(x)=ax2+bx+3, 又f(x)>0的解集是(-1,3), 所以-1、3是方程f(x)=0,即ax2+bx+3=0的两根, 所以,解得, 所以y=f(x)=-x2+2x+3; (3)y=f(x)-g(x)=-x2+2x+3-lnx(x>0), y′=-2x+2-=-, 对于x>0恒有y′<0, 所以y=f(x)-g(x)的单调递减区间为(0,+∞). |
举一反三
函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是( )A.(0,1) | B.(0,2) | C.(1,2) | D.(2,+∞) |
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在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若在区间[1,2]上f′(x)>0,则f(x)( )A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 | B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 | C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 | D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 |
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已知函数f(x)图象的两条对称轴x=0和x=1,且在x∈[-1,0]上f(x)单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>c | B.a>c>b | C.b>c>a | D.c>b>a |
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任意a、b∈R,定义运算a*b=,则f(x)=x*ex的( )A.最小值为-e | B.最小值为- | C.最大值为- | D.最大值为e |
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已知定义域为R的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x+4),当x>2时,f(x)单调递增,若x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.恒大于0 | B.恒小于0 | C.可能等于0 | D.可正可负 |
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