已知函数f(x)=a-12x+1.(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;(2)确定a的值,使f(x)为奇函数.

已知函数f(x)=a-12x+1.(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;(2)确定a的值,使f(x)为奇函数.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=a-
1
2x+1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;
(2)确定a的值,使f(x)为奇函数.
答案
(1)∵f(x)的定义域为R,
设x1<x2
f(x1)-f(x2)=a-
1
2x1+1
-a+
1
2x2+1
=
2x1-2x2
(1+2x1)(1+2x2)
(4分)
∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0
∴f(x1)-f(x2)<0,(6分)
即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.(7分)
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
a-
1
2-x+1
=-a+
1
2x+1

解得:a=
1
2
.∴f(x)=
1
2
-
1
2x+1
.(12分)
举一反三
已知奇函数f(x)=





-x2+2x(x>0)
0,(x=0)
x2+mx(x<0)

(1)求实数m的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;
(2)若函数f(x)在区间[-1,-2]上单调递增,试确定的取值范围.魔方格
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设a>0,f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x+
a
x2
(a∈R)在区间[2,+∞)
上单调递增,那么实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,4)B.(-∞,4]C.(-∞,8)D.(-∞,8]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=xsinx ,  x∈[ -
π
2
 , 
π
2
 ]
,若f(x1)>f(x2),则下列不等式必定成立的是(  )
A.x1+x2>0B.x12>x22C.x1>x2D.x1<x2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,α,β是钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是(  )
A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(cosα)<f(cosβ)
C.f(cosα)>f(cosβ)D.f(sinα)<f(cosβ)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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