已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y),(x、y∈R),f(1)=-1.(1)求f(0)和f(-2)的值;(2)若
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已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y),(x、y∈R),f(1)=-1. (1)求f(0)和f(-2)的值; (2)若f(5)=m,试用m表示f(-5); (3)试判断f(x)的奇偶性(要写出推理过程). |
答案
(1)当x=1,y=0时,∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y), ∴f(1)=f(1)+f(0)+0, ∴f(0)=0. 当x=1,y=-1时,f(0)=f(1)+f(-1)+0,∴f(-1)=1. 当x=-1,y=-1时,f(-2)=f(-1)+f(-1)-4=-2. 即f(-2)=-2. (2)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y), 令y=-x,所以f(x-x)=f(x)+f(-x)+2xy(x-x), 所以f(x)+f(-x)=0 函数是奇函数, ∵f(5)=m, ∴f(-5)=-f(5)=-m. (3)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y), 令y=-x,所以f(x-x)=f(x)+f(-x)+2xy(x-x), 所以f(x)+f(-x)=0. 即f(-x)=-f(x) 函数是奇函数, |
举一反三
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c大小关系是( )A.a>b>c | B.a>c>b | C.b>c>a | D.c>b>a |
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已知函数f(x)=则f[f()]的值是______. |
定义在R上的函数f(x)满足f(x)= | log2(4-x),x≤0 | f(x-1)-f(x-2),x>0 |
| | ,则f(3)的值为( ) |
已知函数f(x)=(x∈N+),若f(f(2))=4a,则实数a等于______. |
已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为______. |
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