已知以T=4为周期的函数f(x)=m1-x2,x∈(-1,1]1-|x-2|,x∈(1,3],其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为_

已知以T=4为周期的函数f(x)=m1-x2,x∈(-1,1]1-|x-2|,x∈(1,3],其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为_

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知以T=4为周期的函数f(x)=





m


1-x2
,x∈(-1,1]
1-|x-2|,x∈(1,3]
,其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为______.
答案
∵当x∈(-1,1]时,将函数化为方程x2+
y2
m2
=1(y≥0),
∴实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,
同时在坐标系中作出当x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象,
由图易知直线 y=
x
3
与第二个椭圆(x-4)2+
y2
m2
=1(y≥0)相交,
而与第三个半椭圆(x-8)2+
y2
m2
=1 (y≥0)无公共点时,方程恰有5个实数解,
将 y=
x
3
代入(x-4)2+
y2
m2
=1 (y≥0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0),
则(t+1)x2-8tx+15t=0,由△=(8t)2-4×15t (t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得 m


15
3

同样由 y=
x
3
与第三个椭圆(x-8)2+
y2
m2
=1 (y≥0)由△<0可计算得m<


7

综上可知m∈(


15
3


7

故答案为:(


15
3


7

举一反三
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-4)=-f(x),在[0,2]上f(x)是增函数,则下列结论:①若0<x1<x2<4,且x1+x2=4,则f(x1)+f(x2)>0;②若0<x1<x2<4,且x1+x2=5,则f(x1)>f(x2);③若方程f(x)=m在[-8,8]内恰有四个不同的角x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=±8,其中正确的有(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知奇函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,1],其在y轴右侧的图象如图所示,则不等式f(-x)-f(x)<1的解集为(  )
A.{x|-
1
2
<x<0}
B.{x|-
1
2
<x<0
或0<x≤1}
C.{x|-1≤x<-
1
2
或0<x≤1}
D.{x|-1≤x<0或
1
2
<x≤1}

题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=x2+2x+3,求f(x),g(x)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,问它在(0,+∞)是增函数还是减函数?能否用函数单调性的定义证明你的结论?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知最小正周期为2的函数y=f(x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数y=f(x)(x∈R)的图象与y=|log5x|的图象的交点个数为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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