设函数f(x)=x+a1-x(a∈R).(1)若a=1,求f(x)的值域;(2)若不等式f(x)≤2对x∈[-8,-3]恒成立,求实数a的取值范围.
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设函数f(x)=x+a1-x(a∈R).(1)若a=1,求f(x)的值域;(2)若不等式f(x)≤2对x∈[-8,-3]恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)=x+a
1-x
(a∈R)
.
(1)若a=1,求f(x)的值域;
(2)若不等式f(x)≤2对x∈[-8,-3]恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)a=1时,f(x)=x+
1-x
,(x≤1),
令t=
1-x
,则t≥0,
则x=1-t
2
,
∴y=1-t
2
+t=-(t-
1
2
)
2
+
5
4
,
∵t≥0,
∴y≥
5
4
,
函数f(x)的值域是[
5
4
,+∞).
(2)令t=
1-x
,x∈[-8,-3],则x=1-t
2
,2≤t≤3,
则y=1-t
2
+at,
若不等式f(x)≤2对x∈[-8,-3]恒成立,
则等价为1-t
2
+at≤2对t∈[2,3]恒成立,
即a
≤t+
1
t
对t∈[2,3]恒成立,
令g(t)=t+
1
t
,t∈[2,3],
则函数g(t)在[2,3]上是一个增函数,
∴g(t)的最小值为g(2)=
5
2
,
∴a
≤
5
2
,
即a的取值范围为(-∞,
5
2
].
举一反三
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B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0
D.f′(x)<0,g′(x)<0
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)=
4-
x
2
|x+3|-3
的图象关于( )
A.y轴对称
B.直线y=x对称
C.坐标原点对称
D.x轴对称
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)是单调递增的一次函数,且f[f(x)]=4x+3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若集合A={x|f(x)•f(x+1)≤0且x∈Z},求集合A.
(3)若g(x)是定义在R的奇函数,且x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)若当0≤x<1时,f(x)=2
x
,则f(log
2
6)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)>3;
(Ⅱ)不等式f(x)≥1在区间(-∞,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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