已知函数f(x)定义域是{x|x≠k2,k∈Z,x∈R},且f(x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-1f(x),当12<x<1时:f(x)=3x.(1)判断
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已知函数f(x)定义域是{x|x≠k2,k∈Z,x∈R},且f(x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-1f(x),当12<x<1时:f(x)=3x.(1)判断
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)定义域是{x|x
≠
k
2
,k∈Z,x∈R
},且f(x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-
1
f(x)
,当
1
2
<x<1
时:f(x)=3
x
.
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)求f(x)在(0,
1
2
)上的表达式;
(3)是否存在正整,使得x∈(2k+
1
2
,2k+1)时,log
3
f(x)>x2-kx-2k有解,并说明理由.
答案
(1)∵f(x+2)=f(x+1+1)=-
1
f(x+1)
=f(x),
所以f(x)的周期为2…(2分)
所以f(x)+f(2-x)=0⇒f(x)+f(-x)=0,
所以f(x)为奇函数.…(4分)
(2)任取x∈(0,
1
2
)⇒-x∈(-
1
2
,0)⇒1-x∈(
1
2
,1).
∴f(x)=-f(-x)=
1
f(1-x)
∴f(x)=
1
3
1-x
=
3
x-1
.…(8分)
(3)任取x∈(2k+
1
2
,2k+1)⇒x-2k∈(
1
2
,1),
∴f(x)=f(x-2k)=3
x-2k
;
∴log
3
f(x)>x2-kx-2k有解
即x
2
-(k+1)x<0在x∈(2k+
1
2
,2k+1)上有解(k∈N
+
),
所以:(0,k+1)∩(2k+
1
2
,2k+1)≠∅,
故有k+1>2k+
1
2
,无解.
故不存在这样的正整数.…(12分)
举一反三
定义:已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质.已知f(x)=ax
2
-|x|+2a-1
(1)若a=1,判断函数f(x)在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由.
(2)若f(x)在[1,2]上具有“DK”性质,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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f(x)=tanx+sinx+1,若f(b)=2,则f(-b)=( )
A.0
B.3
C.-1
D.-2
题型:单选题
难度:一般
|
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函数y=
3x-1(x>0)
3x+1(x<0)
( )
A.是奇函数不是偶函数
B.是偶函数不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
1 ( 当x为有理数时)
0(当x为无理数时)
,给出下列关于f(x)的性质:
①f(x)是周期函数,3是它的一个周期;②f(x)是偶函数;③方程f(x)=cosx有有理根;④方程f[f(x)]=f(x)与方程f(x)=1的解集相同
正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=3
x
,则f(-2)=( )
A.
1
9
B.-9
C.
-
1
9
D.9
题型:单选题
难度:简单
|
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