已知函数f(x)=13x3+2x,对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是______.

已知函数f(x)=13x3+2x,对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是______.

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
1
3
x3+2x,对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是______.
答案
∵f(x)=
1
3
x3+2x,∴f(-x)=-
1
3
x3-2x,∴函数是奇函数;
∵f(tx-2)+f(x)<0,∴f(tx-2)<f(-x)
求导函数可得f′(x)=x2+2>0,∴函数是R上的增函数
∴tx-2<-x
∴tx-2+x<0
∵对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,





-3x-2+x<0
3x-2+x<0

∴-1<x<
1
2

故答案为:(-1,
1
2
).
举一反三
若f(x0)是函数f(x)在点x0附近的某个局部范围内的最大(小)值,则称f(x0)是函数f(x)的一个极值,x0为极值点.已知a∈R,函数f(x)=lnx-a(x-1).
(Ⅰ)若a=
1
e-1
,求函数y=|f(x)|的极值点;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤-
ax2
e2
+
(1+2a-ea)x
e
恒成立,求a的取值范围.
(e为自然对数的底数)
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=(mx2+4x+m+2)-
1
2
的定义域是全体实数,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
给出下列函数:(1)y=sin
x
2
,(2)y=|sinx|,(3)y=-tanx,(4)y=sinx,(5)y=-cos2x.其中在区间(0,
π
2
)
上为增函数且以π为周期的函数是(  )
A.(1)(2)B.(3)(4)C.(2)(5)D.(3)(5)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
f(x)=xn2-3n(n∈Z)是偶函数,且y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,则n=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x2+1
x+c
的图象关于原点对称.
(1)求f(x)的表达式;
(2)n≥2,n∈N时,求证:[f(1)-1]|[f(22)-22]+…+[f(n2)-n2]<2;
(3)对n≥2,n∈N,x>0,求证[f(x)]n-f(xn)≥2n-2.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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