已知f(x)=|x-1|+|x+2|.(1)解不等式f(x)≥5;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-2a对于任意的x∈R恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=|x-1|+|x+2|. (1)解不等式f(x)≥5; (2)若关于x的不等式f(x)>a2-2a对于任意的x∈R恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)不等式即|x-1|+|x+2|≥5,由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之和, 而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5,故不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞). (2)若关于x的不等式f(x)>a2-2a对于任意的x∈R恒成立,故f(x)的最小值大于a2-2a. 而由绝对值的意义可得f(x)的最小值为3, ∴3>a2-2a,解得-1<a<3, 故所求的a的取值范围为(-1,3). |
举一反三
设函数f(x)=x2+2x-2ln(1+x). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当x∈[-1,e-1]时,是否存在整数m,使不等式m<f(x)≤-m2+2m+e2恒成立?若存在,求整数m的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围. |
函数f(x)的定义域为R,若函数f(x)的图象关于y轴及点(1,0)对称,则( )A.f(x+1)=f(x) | B.f(x+2)=f(x) | C.f(x+3)=f(x) | D.f(x+4)=f(x) |
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下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)上为增函数的是( )A.y=cos2x-sin2x | B.y=lg|x| | C.y= | D.y=x3 |
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函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=3log2x-2,则当x<0时,f(x)=______. |
给定函数:①y=x2;②y=2x;③y=cosx;④y=-x3,其中奇函数是( ) |
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