已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0),存在常数a,b,c使得不等式x≤y≤12(1+x2)对一切实数x都成立,求常数a,b,c的值.
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已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0),存在常数a,b,c使得不等式x≤y≤12(1+x2)对一切实数x都成立,求常数a,b,c的值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数y=ax
2
+bx+c的图象经过(-1,0),存在常数a,b,c使得不等式
x≤y≤
1
2
(1+
x
2
)
对一切实数x都成立,求常数a,b,c的值.
答案
∵f(x)的图象过点(-1,0),∴a-b+c=0①
∵x≤f(x)≤
x
2
+1
2
对一切x∈R均成立,
∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1.
故有a+b+c=1.②
由①②得b=
1
2
,c=
1
2
-a.
∴f(x)=ax
2
+
1
2
x+
1
2
-a.
故x≤ax
2
+
1
2
x+
1
2
-a≤
x
2
+1
2
对一切x∈R成立,
也即
a
x
2
-
1
2
x+
1
2
-a≥0
(1-2a)
x
2
-x+2a≥0
恒成立
⇔
△
1
≤0
△
2
≤0
a>0
1-2a>0
⇒
1
4
-4a(
1
2
-a)≤0
1-8a(1-2a)≤0
a>0
1-2a>0.
解得a=
1
4
.∴c=
1
2
-a=
1
4
.
∴常数a,b,c的值为:a=
1
4
,b=
1
2
,c=
1
4
.
举一反三
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c=0(a>0),满足关系f(2+x)=f(2-x),试比较f(0.5)与f(π)的大小.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知3x
2
+2y
2
=6x,试求x
2
+y
2
的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=2x
2
+mx+n,求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若方程4(x
2
-3x)+k-3=0,x∈[0,1]没有实数根,求k的取值范围______.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象关于直线
x=-
b
2a
对称.据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程m[f(x)]
2
+nf(x)+p=0的解集都不可能是( )
A.{1,2}
B.{1,4}
C.{1,2,3,4}
D.{1,4,16,64}
题型:单选题
难度:一般
|
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