已知a>0,函数f(x)=x|x-a|+1(x∈R).(1)当a=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值;(2)当a∈(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间[
题型:解答题难度:一般来源:静安区一模
已知a>0,函数f(x)=x|x-a|+1(x∈R). (1)当a=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值; (2)当a∈(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间[1,2]上的最小值; (3)试讨论函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数. |
答案
(1)当a=1时,有x|x-1|+1=x 所以x=-1或x=1; (2)f(x)=, 1°.当0<a≤1时,x≥1≥a,这时,f(x)=x2-ax+1,对称轴x=≤<1, 所以函数y=f(x)在区间[1,2]上递增,f(x)min=f(1)=2-a; 2°.当1<a≤2时,x=a时函数f(x)min=f(a)=1; 3°.当2<a<3时,x≤2<a,这时,f(x)=-x2+ax+1,对称轴x=∈(1,), f(1)=a,f(2)=2a-3,∵(2a-3)-a=a-3<0 所以函数f(x)min=f(2)=2a-3; (3)因为a>0,所以a>, 所以y1=x2-ax+1在[a,+∞)上递增;y2=-x2+ax+1在(-∞,)递增,在[,a)上递减. 因为f(a)=1,所以当a=1时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有2个交点; 又f()=+1≥2••1=a,当且仅当a=2时,等号成立. 所以,当0<a<1时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有1个交点; 当a=1时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有2个交点; 当1<a<2时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个交点; 当a=2时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有2个交点; 当a>2时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个交点. |
举一反三
对于任意a∈[-1,1],函数f (x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围是( )A.{x|1<x<3} | B.{x|x<1或x>3} | C.{x|1<x<2} | D.{x|x<1或x>2} |
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已知函数f(x)=x2-x+. (Ⅰ)写出函数f(x)的图象的顶点坐标及其单调递增、递减区间; (Ⅱ)若函数的定义域和值域都是[1,a](a>1),求a的值. |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2. (1)如果x1<2<x2<4,设二次函数f(x)的对称轴为x=x0,求证:x0>-1; (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围. |
设f(x)=,g(x)是二次函数,若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是( )A.(-∞,-1]∪[1,+∞) | B.(-∞,-1]∪[0,+∞) | C.[0,+∞) | D.[1,+∞) |
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函数f(x)=mx2-2x+1的零点只有一个是正实数,则实数m的取值范围是______. |
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