已知函数f（x）=2x2-alnx（1）若a=4，求函数f（x）的极小值；（2）设函数g（x）=-cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量xi（i=

题型：解答题难度：一般来源：温州一模

已知函数f（x）=2x²-alnx
（1）若a=4，求函数f（x）的极小值；
（2）设函数g（x）=-cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？

答案

（1）由已知得f′(x)=4x-

4

x

=

4(x2-1)

x

，xk
则当0＜x＜1时f"（x）＜0，可得函数f（x）在（0，1）上是减函数，
当x＞1时f′（x）＞0，可得函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
故函数的极小值为f（1）=2；
（2）若存在，设f（x_i）-g（x_i）=m（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，设F（x）=f（x）-g（x）-m=2x²-alnx+cos2x-m，
则F′(x)=4x-

a

x

-2sin2x(x＞0)有两个不同的零点，即关于x的方程4x²-2xsin2x=a（x＞0）有两个不同的解G（x）=4x²-2xsin2x（x＞0），
则G"（x）=8x-2sin2x-4xcos2x=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
设h（x）=2x-sin2x，则h′（x）=2-2cos2x≥0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
则当x＞0时h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，则G′（x）＞0故G（x）在（0，+∞）上是增函数，
则a=4x²-2xsin2x（x＞0）至多只有一个解，故不存．
方法二：关于方程4x-

a

x

-2sin2x=0(x＞0)的解，
当a≤0时，由方法一知2x＞sin2x，此时方程无解；
当a＞0时，由于H′(x)=4+

a

x2

-4cos2x＞0，
可以证明H(x)=4x-

a

x

-2sin2x(x＞0)是增函数，此方程最多有一个解，故不存在．