已知函数(其中a,b为实常数)。(Ⅰ)讨论函数的单调区间:(Ⅱ)当时,函数有三个不同的零点,证明::(Ⅲ)若在区间上是减函数,设关于x的方程的两个非零实数根为,
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已知函数(其中a,b为实常数)。(Ⅰ)讨论函数的单调区间:(Ⅱ)当时,函数有三个不同的零点,证明::(Ⅲ)若在区间上是减函数,设关于x的方程的两个非零实数根为,
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知函数
(其中a,b为实常数)。
(Ⅰ)讨论函数
的单调区间:
(Ⅱ)当
时,函数
有三个不同的零点,证明:
:
(Ⅲ)若
在区间
上是减函数,设关于x的方程
的两个非零实数根为
,
。试问是否存在实数m,使得
对任意满足条件的a及t
恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案
(I)当a=0时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的增区间为(-∞,0),(a,+∞);f(x)的减区间为(0,a);
当a<0时,f(x)的增区间为(-∞,a),(0,+∞);f(x)的减区间为(a,0).
(II)-a<b<a
3
-a.(III)存在实数m满足条件,此时m∈[
].
解析
试题分析:(I)求导函数,对参数a进行讨论,利用导数的正负,确定函数的单调区间;
(II)确定f(x)的极大值为f(0)=a+b,f(x)的极小值为f(a)=a+b-a
3
,要使f(x)有三个不同的零点,则f(0)>0,f(a)<0,从而得证;
(III)先确定|x
1
-x
2
|=
,并求得其最小值,假设存在实数m满足条件,则m
2
+tm+1≤(
)
min
,即m
2
+tm+1≤4,即m
2
+tm-3≤0在t∈[-1,1]上恒成立,从而可求m的范围.
解:(I)∵
,
当a=0时,
≥0,于是
在R上单调递增;
当a>0时,x∈(0,a),
,得
在(0,a)上单调递减;
x∈(-∞,0)∪(a,+∞),
,得
在(-∞,0),(a,+∞)上单调递增;
当a<0时,
,
,得
在(0,a)上单调递减;
x∈(-∞,a)∪(0,+∞),
得
在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增.
综上所述:当a=0时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的增区间为(-∞,0),(a,+∞);f(x)的减区间为(0,a);
当a<0时,f(x)的增区间为(-∞,a),(0,+∞);f(x)的减区间为(a,0).……3分
(II)当a>0时,由(I)得f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上是增函数,f(x)在(0,a)上是减函数;则f(x)的极大值为f(0)=a+b,f(x)的极小值为f(a)=a+b-a
3
.
要使f(x)有三个不同的零点,则
即
可得-a<b<a
3
-a.…8分
(III)由2x
3
-3ax
2
+a+b=x
3
-2ax
2
+3x+a+b,得x
3
-ax
2
-3x=0即x(x
2
-ax-3)=0,
由题意得x
2
-ax-3=0有两非零实数根x
1
,x
2
,则x
1
+x
2
=a,x
1
x
2
=-3,
即
.∵ f (x)在[1,2]上是减函数,
∴
≤0在[1,2]上恒成立,
其中x-a≤0即x≤a在[1,2]上恒成立,∴ a≥2.∴
≥4.
假设存在实数m满足条件,则m
2
+tm+1≤(
)
min
,即m
2
+tm+1≤4,即m
2
+tm-3≤0在t∈[-1,1]上恒成立,
∴
解得
.
∴ 存在实数m满足条件,此时m∈[
]. …………………14分
点评:解决该试题的关键是利用导数的正负对于函数单调性的影响得到函数单调区间,进而分析极值问题,以及构造函数的思想求证函数的最值,解决恒成立问题的运用。
举一反三
函数
的图像与
轴的交点个数为 ( )
A.一个
B.至少一个
C.至多两个
D.至多一个
题型:单选题
难度:简单
|
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设
是函数
定义域内的一个区间,若存在
,使
,
则称
是
的一个“次不动点”,也称
在区间
上存在次不动点.若函数
在区间
上存在次不动点,则实数
的取值范围
是
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
(本小题满分12分)
已知函数
是奇函数:
(1)求实数
和
的值;
(2)证明
在区间
上的单调递减
(3)已知
且不等式
对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
;
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
(本小题满分12分)已知函数
(
为常数)。
(Ⅰ)函数
的图象在点(
)处的切线与函数
的图象相切,求实数
的值;
(Ⅱ)设
,若函数
在定义域上存在单调减区间,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若
,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数
,
,都有
成立,求
的取值范围。
题型:解答题
难度:简单
|
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