(1)由题意,得loga=1+loga(m-1),所以解得m>2.又loga=1+loga(n-1),所以 m,n是关于x的方程loga=1+loga(x-1)在区间(2,+∞)内的两个 不相等的实根, 即m,n是关于x的方程ax2+(a-1)x+2(1-a)=0在区间(2,+∞)内的两个 不相等的实根, 即 | a>0且a≠1 | △=(a-1)2+8a(a-1)>0 | ->2 | 4a+2(a-1)+2(1-a)>0 |
| | 解得0<a<.(6分) 此时,由于函数y==1-在区间[m,n](m>2)上是单调增函数, 且y>0,结合函数y=logax在区间(0,+∞)内是单调减函数, 知函数f(x)=loga,x∈[m,n]是单调减函数, 值域为[1+loga(n-1),1+loga(m-1)]. 故实数a的取值范围是区间(0,).(8分) (2)令h(x)=ax2+(a-1)x+2(1-a) .由于h(2)=4a+2(a-1)+2(1-a)=4a>0, h(4)=16a+4(a-1)+2(1-a)=18a-2<0, 所以2<m<4<n.(12分) (3)因为函数g(x)=1+loga(x-1)-loga=1+loga,所以,当x>2时, g′(x)=••(2x+1)(x-2)-(x2+x-2) | (x-2)2 | =•, 因为lna<0,所以当x∈[m,4)时,g"(x)>0,即g(x)在区间[m,4]上是单调增函数; 当x∈(4,+∞)时,g"(x)<0,即g(x)在区间[4,n]上是单调减函数; 故A=g(4)=1+loga=1+loga9. 由0<a<,得-1<loga9<0, 所以0<A<1.(16分) |