已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x(Ⅰ)求函数f(x)图象的对称中心的坐标;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值,并求函数f(x)取得最大值
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已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x (Ⅰ)求函数f(x)图象的对称中心的坐标; (Ⅱ)求函数f(x)的最大值,并求函数f(x)取得最大值时x的取值集合; (Ⅲ)求函数f(x)的增区间 |
答案
(Ⅰ)f(x)=(1-cos2x)+sin2x+(1+cos2x) =sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2. 令2x+=kπ得x=-(k∈Z), ∴函数f(x)图象对称中心的坐标是(- , 0),(k∈Z). (Ⅱ)当2x+=2kπ+, 即x=kπ+(k∈Z)时,ymax=2+. ∴函数f(x)取得最大值时X的集合是{x|x=kπ+,k∈Z}. (Ⅲ)由2kπ-≤2x+≤2kπ+, 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), ∴函数f(x)的单调增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z). |
举一反三
已知0<α<<β<π且sin(α+β)=,tan=. (1)求cosα的值; (2)证明:sinβ>. |
若A+B=,则cos2A+cos2B的取值范围是______. |
若α∈(0,),且cos(α+)=-,则cosα=______. |
函数y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,]的最大值是______. |
在△ABC中,cosB=-,cosC=,AB=13,求BC. |
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