在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.
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在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b. (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值. |
答案
(Ⅰ)由正弦定理及2acosC+ccosA=b. 得2sinAcosC+sinCcosA=sinB 在△ABC中,A+B+C=π, ∴A+C=π-B,即sin(A+C)=sinB. ∴2sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB ∴sinAcosC=0 又∵0<A<π,0<C<π, ∴sinA>0. ∴cosC=0 ∴C=π (Ⅱ)由(Ⅰ)得C=π, ∴A+B=π,即B=π-A. ∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=-sin2B+sinB+1=-(sinB-)2+ ∵0<B<, ∴当sinB=,即B=时,sinAcosB+sinB取得最大值. |
举一反三
已知函数f(x)=2sinxcosx-2sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. |
已知△ABC的三个内角满足:sinA=sinC•cosB,则三角形的形状为( )A.正三角形 | B.直角三角形 | C.等腰直角三角形 | D.等腰三角形或直角三角形 |
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已知f(x)=•,其中向量=(2cosx,-sin2x),=(cosx,1)(x∈R) (Ⅰ)求f (x)的周期和单调递减区间; (Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=,•=3,求边长b和c的值(b>c). |
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,又cosA=. (1)求cos2+cos2A+的值. (2)若b=2,△ABC的面积S=3,求a的值. |
命题P:tan(A+B)=0,命题Q:tan A+tan B=0,则P是Q的( )A.充要条件 | B.充分不必要条件 | C.必要不充分条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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