已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4成等差数列.(I)证明12S3,S6,S12-S6成等比数列;(I

已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4成等差数列.(I)证明12S3,S6,S12-S6成等比数列;(I

题型:湖南难度:来源:
已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4成等差数列.
(I)证明12S3,S6,S12-S6成等比数列;
(II)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2
答案
(Ⅰ)证明:由a1,2a7,3a4成等差数列,得4a7=a1+3a4
即4aq6=a+3aq3
变形得(4q3+1)(q3-1)=0,
又∵公比q不等于1,所以4q3+1=0
S6
12S3
=
a1(1-q6)
1-q
12a1(1-q3)
1-q
=
1+q3
12
=
1
16
S12-S6
S6
=
S12
S6
-1=
a1(1-q12)
1-q
a1(1-q6)
1-q
-1=1+q6-1=q6=
1
16

S6
12S3
=
S12-S6
S6

所以12S3,S6,S12-S6成等比数列.
(Ⅱ)Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2=a+2aq3+3aq6+…+naq3(n-1)
Tn=a+2•(-
1
4
)a+3•(-
1
4
)
2
a+…+n•(-
1
4
)
n-1
a
.①
①×(-
1
4
)
得:-
1
4
Tn=-
1
4
a+2•(-
1
4
)
2
a+3•(-
1
4
)
3
a+…+(n-1)•(-
1
4
)
n-1
a+n(-
1
4
)
n
a
…②.
①-②得
5
4
Tn
=
a[1-(-
1
4
)
n
]
1-(-
1
4
)
-n•(-
1
4
)na=
4
5
a-(
4
5
+n)•(-
1
4
)na

所以Tn=
16
25
a-(
16
25
+
4
5
n)•(-
1
4
)na
举一反三
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(  )
A.
1
4
B.


5
5
C.
1
2
D.


5
-2
题型:江西难度:| 查看答案
设f(x)=ax+b,a≠0,Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),若f(3)=5,且f(1),f(2),f(5)成等比数列,求Sn
题型:汕头二模难度:| 查看答案
设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列{an}有下列三个命题
①若{an}既是等差数列又是等比数列,则an=an+1(n∈N*);
②若Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列;
③若Sn=1-(-1)n,则{an}是等比数列;
这些命题中,真命题的序号是______.
题型:上海难度:| 查看答案
(文科)在等比数列{an}中,已知a1+a2=3,a3+a4=6.
(1)求a9+a10;(2)求a10+a11+a12+a13
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=
2
3
an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21)
,其中λ为实数,n为正整数.
(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设0<a<b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:湖北难度:| 查看答案
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