试题分析:(Ⅰ)根据函数在点处的切线方程为,这一条件分离出两个条件,然后根据这两个条件列有关和的二元一次方程组,解出和的值进而确定函数的解析式;(Ⅱ)先将直线的斜率利用点的坐标表示,然后建立以为自变量的函数,对参数进行分类讨论,即可求出参数的取值范围;(Ⅲ)证明不等式,构造函数 ,等价转化为,借助极小值,但同时需要注意有些时候相应整体的代换. 试题解析:(Ⅰ),. 1分 函数在点处的切线方程为, 即, 解得, 2分 . 3分 (Ⅱ)由、,得, ∴“当时,直线的斜率恒小于”当时,恒成立对恒成立. 4分 令,. 则, 5分 (ⅰ)当时,由,知恒成立, ∴在单调递增, ∴,不满足题意的要求. 6分 (ⅱ)当时,,, , ∴当 ,;当,. 即在单调递增;在单调递减. 所以存在使得,不满足题意要求. 7分 (ⅲ)当时,,对于,恒成立, ∴在单调递减,恒有,满足题意要求. 8分 综上所述:当时,直线的斜率恒小于. 9分 (Ⅲ)证明:令, 则, 10分 , 函数在递增,在上的零点最多一个.11分 又,, 存在唯一的使得, 12分 且当时,;当时,. 即当时,;当时,. 在递减,在递增, 从而. 13分 由得且,, ,从而证得. 14分 |