对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f′′(x)=0有实数解x0,则

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f′′(x)=0有实数解x0,则

题型:不详难度:来源:
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f′′(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.现已知f(x)=x3-3x2+2x-2,请解答下列问题:
(Ⅰ)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(Ⅱ)求证f(x)的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明);
(Ⅲ)若另一个三次函数G(x)的“拐点”为B(0,1),且一次项系数为0,当x1>0,x2>0(x1≠x2)时,试比较
G(x1)+G(x2)
2
G(
x1+x2
2
)
的大小.
答案
(1)f′(x)=3x2-6x+2…(1分)f″(x)=6x-6令f″(x)=6x-6=0得x=1…(2分)f(1)=13-3+2-2=-2∴拐点A(1,-2)…(3分)
(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=x03-3x02+2x0-2,因为P(x0,y0)关于A(1,-2)的对称点为P"(2-x0,-4-y0),
把P"代入y=f(x)得左边=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2
右边=(2-x03-3(2-x02+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2∴右边=右边∴P′(2-x0,-4-y0)在y=f(x)图象上∴y=f(x)关于A对称        …(7分)
结论:①任何三次函数的拐点,都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”(写出其中之一)…(9分)
(3)设G(x)=ax3+bx2+d,则G(0)=d=1…(10分)∴G(x)=ax3+bx2+1,G"(x)=3ax2+2bx,G""(x)=6ax+2bG""(0)=2b=0,b=0,∴G(x)=ax3+1=0…(11分)
法一:
G(x1)+G(x2)
2
-G(
x1+x2
2
)
=
a
2
x31
+
a
2
x32
-a(
x1+x2
2
)3
=a[
1
2
x31
+
1
2
x32
-(
x1+x2
2
)3]
=
a
2
[
x31
+
x32
-
x31
+
x32
+3
x21
x2+3x1
x22
4
]
=
a
8
(3
x31
+3
x32
-3
x21
x2-3x1
x22
)
=
a
8
[3
x21
(x1-x2)-3
x22
(x1-x2)]
=
3a
8
(x1-x2)2(x1+x2)
…(13分)
当a>0时,
G(x1)+G(x2)
2
>G(
x1+x2
2
)

当a<0时,
G(x1)+G(x2)
2
<G(
x1+x2
2
)
…(14分)
法二:G′′(x)=3ax,当a>0时,且x>0时,G′′(x)>0,∴G(x)在(0,+∞)为凹函数,∴
G(x1)+G(x2)
2
>G(
x1+x2
2
)
…(13分)
当a<0时,G′′(x)<0,∴G(x)在(0,+∞)为凸函数∴
G(x1)+G(x2)
2
<G(
x1+x2
2
)
…(14分)
举一反三
函数f(x)=(2πx)2的导数f′(x)=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数
(1)求函数F(x)=f(x)•f′(x)+f2(x)的最小正周期;
(2)若f(x)=2f′(x),求
1+sin2x
cos2x+sinx•cosx
的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知f(x)=x2+2x•f′(1),则f′(0)=______.
题型:惠州三模难度:| 查看答案
已知函数f(x)的导数是f′(x),f(x)=x3-2f′(1)x+1,则f′(1)=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=xex,f′(x)是f(x)的导函数,则f′(0)等于(  )
A.-2B.-1C.0D.1
题型:不详难度:| 查看答案
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