已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
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已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
答案
(1)单调增区间是
,单调减区间是
(2)当0<a<ln2时,最小值是-a;当a≥ln2时,最小值是ln2-2a.
解析
①知函数解析式求单调区间,实质是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域;
②先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值;
③由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论.
规范解答:解:(1)f′(x)=
-a(x>0).(1分)
①当a≤0时,f′(x)=
-a≥0,即函数f(x)的单调增区间是(0,+∞).(3分)
②当a>0时,令f′(x)=
-a=0,得x=
,当0<x<
时,f′(x)=
>0,当x>
时,f′(x)=
<0,所以函数f(x)的单调增区间是
,单调减区间是
.(6分)
(2)①当
≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
所以f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(8分)
②当
≥2,即0<a≤
时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以f(x)的最小值是f(1)=-a.(10分)
③当1<
<2,即
<a<1时,函数f(x)在区间
上是增函数,在区间
上是减函数,
又f(2)-f(1)=ln2-a,
所以当
<a<ln2时,最小值是f(1)=-a;
当ln2≤a<1时,最小值是f(2)=ln2-2a.(12分)
综上可知,当0<a<ln2时,最小值是-a;
当a≥ln2时,最小值是ln2-2a.(14分)
举一反三
若存在正数x使2
x
(x-a)<1成立,则a的取值范围是________.
题型:不详
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若函数f(x)=x
2
+ax+
在
上是增函数,则a的取值范围是________.
题型:不详
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如果关于x的方程ax+
=3在区间(0,+∞)上有且仅有一个解,那么实数a的取值范围为________.
题型:不详
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已知函数f(x)=lnx-
,若函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,则a的取值范围是________.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=
x
3
-
ax
2
+(a-1)x+1在区间(1,4)上是减函数,在区间(6,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
题型:不详
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