已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).(1)若f"(-1)=0,求函数y=f(x)在[-32,1]上的最大值和最小值;(2)若函数f(x)的图象上
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已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).(1)若f"(-1)=0,求函数y=f(x)在[-32,1]上的最大值和最小值;(2)若函数f(x)的图象上
题型:不详
难度:
来源:
已知a为实数,函数f(x)=(x
2
+1)(x+a).
(1)若f"(-1)=0,求函数y=f(x)在[-
3
2
,1]上的最大值和最小值;
(2)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的取值范围.
答案
(1)∵f"(-1)=0,∴3-2a+1=0,即a=2. …(2分)
∴
f′(x)=3
x
2
+4x+1=3(x+
1
3
)(x+1)
.
由f"(x)>0,得x<-1或
x>-
1
3
; …(4分)
由f"(x)<0,得
-1<x<-
1
3
.因此,函数f(x)的单调增区间为
[-
3
2
, -1]
,
[-
1
3
, 1]
;
单调减区间为
[-1, -
1
3
]
. …(6分)
f(x)在x=-1取得极大值为f(-1)=2;f(x)在
x=-
1
3
取得极小值为
f(-
1
3
)=
50
27
.
由∵
f(-
3
2
)=
13
8
,f(1)=6且
50
27
>
13
8
∴f(x)在[-
3
2
,1]上的最大值为f(1)=6,最小值为
f(-
3
2
)=
13
8
. …(8分)
(2)∵f(x)=x
3
+ax
2
+x+a,∴f"(x)=3x
2
+2ax+1.
∵函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,∴f"(x)=0有实数解. …(10分)
∴△=4a
2
-4×3×1≥0,∴a
2
≥3,即
a≤-
3
或a≥
3
.
因此,所求实数a的取值范围是
(-∞, -
3
]∪[
3
, +∞)
. …(12分)
举一反三
已知函数
f(x)=lnx+
1-x
ax
,其中a为大于零的常数.
(I)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(II)设函数
g(x)=(p-x)
e
-x
+1
,若存在x
0
∈[1,e],使不等式g(x
0
)≥lnx
0
成立,求实数p的取值范围.(e为自然对数的底)
题型:金华模拟
难度:
|
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定义在R上的连续函数f(x),若(x-1)f"(x)<0,则下列各式正确的是( )
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1)
D.f(0)+f(2)与f(1)大小不定
题型:青州市模拟
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
4
x
4
+
x
3
-
9
2
x
2
+cx
有三个极值点.
(1)求c的取值范围;
(2)若存在c=5,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)(x
1
≠x
2
)是函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c的图象上的两点,若对于任意实数x
1
,x
2
,当x
1
+x
2
=0时,以P,Q为切点分别作函数f(x)的图象的切线,则两切线必平行,并且当x=1时函数f(x)取得极小值1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若M(t,g(t))是函数g(x)=f(x)+3x-3(1≤x≤6)的图象上的一点,过M作函数g(x)图象的切线,切线与x轴和直线x=6分别交于A,B两点,直线x=6与x轴交于C点,求△ABC的面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
g(x)=
1
3
a
x
3
+2
x
2
-2x
,函数f(x)是函数g(x)的导函数.
(1)若a=1,求g(x)的单调减区间;
(2)当a∈(0,+∞)时,若存在一个与a有关的负数M,使得对任意x∈[M,0]时,-4≤f(x)≤4恒成立,求M的最小值及相应的a值.
题型:茂名一模
难度:
|
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