已知函数,(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;(Ⅱ)设m,n∈R+,且m≠n,求证:。
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已知函数,(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;(Ⅱ)设m,n∈R+,且m≠n,求证:。
题型:北京模拟题
难度:
来源:
已知函数
,
(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)设m,n∈R
+
,且m≠n,求证:
。
答案
(Ⅰ)解:
,
因为f(x)在(0,+∞)为单调增函数,
所以f′(x)≥0在(0,十∞)上恒成立,即x
2
+(2-2a)x+l≥0在(0,+∞)上恒成立,
当x∈(0,+∞)时,由x
2
+(2-2a)x+l≥0,
得
,
设
,
,
所以,当且仅当
,即x=1时,g(x)有最小值2,
所以2a-2≤2,所以,a≤2,
所以a的取值范围是(-∞,2]。
(Ⅱ)不妨设m>n>0,则
,
要证
,只需证
,
即证
,只需证
,
设
,
由(Ⅰ)知,h(x)在(1,+∞)上是单调增函数,
又
,
所以,
,即
成立,
所以,
。
举一反三
已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
=b
1
,且对任意n∈N*都有a
n
+b
n
=1,
,
(Ⅰ)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
。
题型:广东省模拟题
难度:
|
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设函数f(x)=x
2
e
x-1
-
x
3
-x
2
(x∈R),
(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求y=f(x)在[-l,2]上的最小值;
(Ⅲ)当x∈(1,+∞)时,用数学归纳法证明:
n∈N*,e
x-1
>
。
题型:山东省模拟题
难度:
|
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已知函数
,
(Ⅰ)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)设h(x)=x·f(x)-x-ax
3
在(0,2)上有极值,求a的取值范围。
题型:山东省模拟题
难度:
|
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函数y=f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0。设a=f(0),b=f(0.5),c=f(3),则
[ ]
A.a<b<c
B.c<a<b
C.c<b<a
D.b<c<a
题型:天津模拟题
难度:
|
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已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x
2
-2x-3)·f′(x)>0的解集为
[ ]
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-l)∪(-1,1)∪(3,+∞)
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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