已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求二面角的正弦值; (3)

已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求二面角的正弦值; (3)

题型:不详难度:来源:
已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.

(1)求异面直线所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求此几何体的体积的大小
答案
(1)异面直线所成的角的余弦值为
(2)二面角的的正弦值为
(3)几何体的体积为16.
解析

试题分析:(1)先确定几何体中的棱长, ,通过取的中点,连结
,∴或其补角即为异面直线所成的角. 在中即可解得的余弦值.
(2) 因为二面角的棱为,可通过三垂线法找二面角,由已知平面,过,连.可得平面,从而,∴为二面角的平面角. 在中可解得角的正弦值.
(3)该几何体是以为顶点,为高的,为底的四棱锥,所以
此外也可以以为原点,以所在直线为轴建立空间直角坐标系来解答.
试题解析:(1)取的中点是,连结
,∴或其补角即为异面直线所成的角.
中,.∴
∴异面直线所成的角的余弦值为
(2)因为平面,过,连
可得平面,从而
为二面角的平面角. 
中,
.∴
∴二面角的的正弦值为
(3),∴几何体的体积为16.
方法2:(1)以为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4)
,∴
∴异面直线所成的角的余弦值为
(2)平面的一个法向量为,设平面ADE的一个法向量为
所以
, ∴
从而
,则
∴二面角的的正弦值为
(3),∴几何体的体积为16.
举一反三
在三棱锥中,两两垂直,且,设是底面内一点,定义,其中分别是三棱锥,三棱锥,三棱锥的体积,若,且,则正实数的最小值为(   )
A.B.C.D.

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某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于,母线与轴的夹角为,则这个圆台的高为
A.7B.14C.21D.

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中,若的外接圆半径运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c,则其外接球的半径R=          .
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圆台上、下底面面积分别为, 侧面积是, 这个圆台的高为                
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