如图,是半圆的直径,是半圆上除、外的一个动点,平面,,,,.⑴证明:平面平面;⑵试探究当在什么位置时三棱锥的体积取得最大值,请说明理由并求出这个最大值.

如图,是半圆的直径,是半圆上除、外的一个动点,平面,,,,.⑴证明:平面平面;⑵试探究当在什么位置时三棱锥的体积取得最大值,请说明理由并求出这个最大值.

题型:不详难度:来源:
如图,是半圆的直径,是半圆上除外的一个动点,平面,

⑴证明:平面平面
⑵试探究当在什么位置时三棱锥的体积取得最大值,请说明理由并求出这个最大值.
答案
是直径,所以,因为平面,所以平面因为,又因为,所以,所以平面ACD,因为平面,所以平面平面
⑵当为半圆弧中点时三棱锥的体积取得最大值,最大值为
解析

试题分析:⑴因为是直径,所以,因为平面,因为,所以平面
因为,又因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以平面,因为平面,所以平面平面
⑵依题意,
由⑴知
,等号当且仅当时成立,所以当为半圆弧中点时三棱锥
体积取得最大值,最大值为
(备注:此时,,设三棱锥的高为,则).
点评:第一问要证明两面垂直只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另外一面,即转化为证明线面垂直;第二问首先采用等体积法将所求椎体的体积转化求解的角度,而后借助于均值不等式求得最大值
举一反三
如图,已知平面平面,△为等边三角形,的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:平面平面
(3)求直线和平面所成角的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,在三棱锥PABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上.

(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
AB为圆O的直径,点E、F在圆上,AB//EF,矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1。

(I)求证:BF⊥平面DAF;
(II)求多面体ABCDFE的体积。
题型:不详难度:| 查看答案
如图(1),是等腰直角三角形,其中分别为的中点,将沿折起,点的位置变为点,已知点在平面上的射影的中点,如图(2)所示.

(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥中,平面平面中点,中点.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
题型:不详难度:| 查看答案
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