如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，平面,，，，．⑴证明：平面平面；⑵试探究当在什么位置时三棱锥的体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．

题型：不详难度：来源：

如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，平面,，，，．

⑴证明：平面平面；
⑵试探究当在什么位置时三棱锥的体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．

答案

⑴是直径，所以，因为平面，，所以平面因为，又因为，所以，所以平面ACD，因为平面，所以平面平面
⑵当为半圆弧中点时三棱锥的体积取得最大值，最大值为

解析

试题分析：⑴因为是直径，所以，因为平面，，因为，所以平面
因为，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，因为平面，所以平面平面
⑵依题意，，
由⑴知，
，，等号当且仅当时成立，所以当为半圆弧中点时三棱锥的
体积取得最大值，最大值为
（备注：此时，，，设三棱锥的高为，则，）．
点评：第一问要证明两面垂直只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另外一面，即转化为证明线面垂直；第二问首先采用等体积法将所求椎体的体积转化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值