△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图. (1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥B

题型：不详难度：来源：

△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图.

(1)求证:DF∥平面ABC;
(2)求证:AF⊥BD;
(3)求平面BDF与平面ABC所成二面角的大小.

答案

  (1)证明:如图所示,取AB中点G,连结CG、FG.

∵EF=FB,AG=GB,
∴FG.
又DC,∴FGDC.
∴四边形CDFG为平行四边形,
故DF∥CG.
∵平面ABC,平面ABC,
∴DF∥平面ABC.
(2)证明:∵EA⊥平面ABC,
∴EA⊥CG.
又△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
∴CG⊥AF.
又∵DF∥CG,∴DF⊥AF.
又AE=AB,F为BE中点,
∴AF⊥BE.又BE∩DF=F,
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.
(3)解:延长ED交AC延长线于G′,连结BG′.
由,CD∥AE知D为EG′中点,
∴FD∥BG′.
由CG⊥平面ABE,FD∥CG,
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA为所求二面角的平面角.
在等腰直角三角形AEB中,易求∠ABE="45°."

解析

空间直线和平面