本试题主要是考查了立体几何中面面垂直的判定和二面角的求解的综合运用。 (1)要证明面面垂直,只要证明线面垂直,再结合面面垂直的判定定理得到结论。 (2)合理的建立空间直角坐标系,然后求解得到平面的法向量和法向量,运用向量的夹角公式得到二面角的平面角的求解。 (1)证明:∵ 垂直于圆 所在平面, 在圆 所在平面上, ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082934-41007.png) 。 在正方形 中, , ∵ ,∴ 平面 .∵ 平面 , ∴平面 平面 。 ……………………………………………6分 (2)解法1:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082935-26735.png) ∵ 平面 , 平面 , ∴ 。 ∴ 为圆 的直径,即 . 设正方形 的边长为 , 在 △ 中, , 在 △ 中, , 由 ,解得, 。 ∴ 。 过点 作 于点 ,作 交 于点 ,连结 , 由于 平面 , 平面 ,∴ 。∵ , ∴ 平面 。∵ 平面 , ∴ 。∵ , , ∴ 平面 。∵ 平面 ,∴ 。 ∴ 是二面角 的平面角。…………………………………10分 在 △ 中, , , , ∵ ,∴ 。 在 △ 中, ,∴ 。 故二面角 的平面角的正切值为 。 …………………………12分 解法2:∵ 平面 , 平面 , ∴ 。∴ 为圆 的直径,即 。 设正方形 的边长为 ,在 △ 中,
, 在 △ 中, , 由 ,解得, 。∴ 。 以 为坐标原点,分别以 、 所在的直线为 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082939-52591.png) 则 , , ,
, 。……………8分 设平面 的法向量为 , 则 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082940-49012.png) 取 ,则 是平面 的一个法向量。…………9分 设平面 的法向量为 ,则 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082941-42648.png) 取 ,则 是平面 的一个法向量。…………10分
, . ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082942-58160.png) 故二面角 的平面角的正切值为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082934-47679.png) |