在高为1的直四棱柱ABCD-A"B"C"D"中,底面ABCD是等腰梯形,AB=BC=CD=1,AD=2. (1)求异面直线BC"与CD"所成的角;(2)求被截面

在高为1的直四棱柱ABCD-A"B"C"D"中,底面ABCD是等腰梯形,AB=BC=CD=1,AD=2. (1)求异面直线BC"与CD"所成的角;(2)求被截面

题型:不详难度:来源:
在高为1的直四棱柱ABCD-A"B"C"D"中,底面ABCD是等腰梯形,AB=BC=CD=1,AD=2. 
(1)求异面直线BC"与CD"所成的角;
(2)求被截面ACD"所截的两部分几何体的体积比.魔方格
答案
(1)由已知ABCD和A"B"C"D"是全等的底角为60°的等腰梯形,
魔方格

B"BCC"和C"CDD"是边长为1的正方形.
设AD的中点为E,A"D"的中点为E",连接BE".
∵BCDE-B"C"D"E"是底面为菱形的直四棱柱,
∴BE"CD",∠E"BC"是异面直线BC"与CD"所成的角.
∵在△BC"E"中,BC′=BE′=


2
 , C′E′=1
cos ∠ E′BC′=
 2+2-1 
 2×


2
×


2
 
=
 3 
 4 

∴异面直线BC"与CD"所成的角是arccos
 3 
 4 

(2)求被截面ACD"所截的两部分几何体的体积比.
∵VD"-ACD=
 1 
 3 
×
 1 
 2 
×


3
×1×1=
 


3
 
 6 
,VABCD-A"B"C"D"=
 1+2 
 2 
×
 


3
 
 2 
×1=
 3


3
 
 4 

VABCD-A"B"C"D"-VD"-ACD=
 3


3
 
 4 
-
 


3
 
 6 
=
 7


3
 
 12 

∴被截面ACD"所截的两部分几何体的体积比是


3
6
7


3
12
=2:7.
举一反三
如图,在圆锥中,B为圆心,AB=8,BC=6
(1)求出这个几何体的表面积;
(2)求出这个几何体的体积.(保留π)魔方格
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若圆锥的侧面展开图是弧长为2πcm,半径为


2
cm的扇形,则该圆锥的体积为______cm3
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=


2
,E、F分别为PC、BD的中点.
(I)求证:EF平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥P-BCD的体积.魔方格
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正四面体的内切球(与正四面体的四个面都相切的球)与外接球(过正四面体四个顶点的球)的体积比为(  )
A.1:3B.1:9
C.1:27D.与正四面体的棱长无关
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1=2,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求三棱锥B1-ADC的体积.魔方格
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