在三棱柱中ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点。(1)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(2)

在三棱柱中ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点。(1)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(2)

题型:0127 模拟题难度:来源:
在三棱柱中ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点。
(1)求证:A1D⊥平面BB1C1C;
(2)求证:AB1∥平面A1DC;
(3)求二面角D-A1C-A的余弦值。
答案
解:(1)证明:因为侧面均为正方形,
所以
所以平面,三棱柱是直三棱柱
因为平面
所以,        
又因为,D为中点,
所以
因为
所以平面。 (2)证明:连结,交于点O,连结
因为为正方形,
所以O为中点,
又D为中点,
所以OD为中位线,
所以
因为平面平面
所以平面
(3)因为侧面均为正方形,
所以两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系
,则
设平面的法向量为,则有


又因为平面
所以平面的法向量为

因为二面角是钝角,
所以,二面角的余弦值为。 
举一反三
如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G,
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥E-ADC的体积。
题型:江西省模拟题难度:| 查看答案
如图,在平行四边形ABCD中,CD=1,∠BCD=60°,且BD⊥CD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点。
(1)求证:BD⊥平面CDE;
(2)求证:GH∥平面CDE;
(3)求三棱锥D-CEF的体积。
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
如图,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图所示。
(1)求证:BC⊥平面ACD;
(2)求BD与平面ABC所成角θ的正弦值。
题型:模拟题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAB为正三角形,AB=2,BC=,PC⊥BD,E为AB的中点.
(1)证明:PE⊥平面ABCD;
(2)求二面角A-PD-B的大小.
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2,平面A1ACC1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A1AC=60°,点O为底面对角线AC与BD 的交点。
(1)证明:A1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-A1A-C的平面角的正切值。
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
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