(1)证明:取AA1的中点P,连接PM,PN. ∵N是A1D的中点,∴AA1⊥PN,又∵AA1⊥MN,MN∩PN=N, ∴AA1⊥面PMN. ∵PM⊂面PMN,∴AA1⊥PM,∴PM∥AB, ∴点M是BB1的中点. (2)由(1)知∠PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角. 在Rt△PMN中,易知PM=1,PN=, ∴tan∠PNM==2,∠PNM=arctan2. 故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2. (3)∵N是A1D的中点,M是BB1的中点,∴A1N=AN,A1M=AM, 又MN为公共边,∴△A1MN≌△AMN. 在△AMN中,作AG⊥MN交MN于G,连接A1G,则∠A1GA即为二面角A-MN-A1的平面角. 在△A1GA中,AA1=2,A1G=GA=, ∴cos∠A1GA==-,∴∠A1GA=arccos(-), 故二面角A-MN-A1的大小为arccos(-). |