如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形. (1)求证DM∥平面APC;(2)求证平面ABC⊥平面

题型：不详难度：来源：

如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.

(1)求证DM∥平面APC;
(2)求证平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=PC=4,求二面角P-AB-C的正弦值.

答案

(3)

解析

试题分析：
(1)从平面内找一条与平行的直线,根据题意可知, 是的中位线,有∥,则证明.
(2)要证面面垂直得有线面垂直,根据题意可证,从而得到,进而有,最终可证.
(3)首先得做出二面角的平面角,所以过作，垂足为，连接,猜想为二面角的平面角,根据二面角的平面角定义,只需证明 ,显然根据已知以及(1)中的结论,可证平面,则可证明猜想.将放入中,即可求其正弦值.
证明为中点, 为中点,
中,有∥,
又,
 ∥平面                                       
(2)证明为正三角形,且为中点,
又由(1)知, ∥.             
又,                          
                             
                         
                   
(3)

过作，垂足为，连接， 
，为中点，
，又由（2）知平面，
,平面,
又平面,                         
为二面角的平面角         
,为中点,,又由（2）平面，∴，，
又 ，为中点,为正三角形，
∴，
∴，
∴
∴在，
即二面角的正弦值为．