已知A(1,1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1、F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点
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已知A(1,1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1、F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点
题型:天河区一模
难度:
来源:
已知A(1,1)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)上一点,F
1
、F
2
是椭圆的两焦点,且满足|AF
1
|+|AF
2
|=4.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,求直线CD的斜率.
答案
(1)由椭圆定义知2a=4,所以a=2,
即椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
b
2
=1
把(1,1)代入得
1
4
+
1
b
2
=1所以b
2
=
4
3
,椭圆方程为:
x
2
4
+
3
y
2
4
=1
(2)由题意知,AC的倾斜角不为90
0
,故设AC方程为y=k(x-1)十1,
联立
y=k(x-1)+1
x
2
4
+
3
4
y
2
=1
消去y,得(1+3k
2
)x
2
-6k(k-1)x+3k
2
-6k-1=0.
∵点A(1,1)、C在椭圆上,∴x
C
=
3
k
2
-6k-1
3
k
2
+1
∵AC、AD直线倾斜角互补,∴AD的方程为y=-k(x-l)+1,
同理x
D
=
3
k
2
+6k-1
3
k
2
+1
又y
C
=k(x
C
-1)+1,y
D
=-k(x
D
-1)+1,
∴y
C
-y
D
=k(x
C
+x
D
)-2k.
∴
y
c
-
y
d
x
c
-
x
d
=
1
3
.
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F
1
(-1,0)、F
2
(1,0),且经过点
P(1,
3
2
)
,M为椭圆上的动点,以M为圆心,MF
2
为半径作圆M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若圆M与y轴有两个交点,求点M横坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C中心为坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2
21
,离心率为
1
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同两点P,Q,且OP⊥OQ,求点O到直线l的距离.
题型:不详
难度:
|
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设θ是三角形的一个内角,且
sinθ+cosθ=
,
则方程x
2
sinθ-y
2
cosθ=1表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的椭圆
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个焦点是
F(-
3
,0)
,且离心率
e=
3
2
(1)求椭圆C方程;
(2)(8分)过点A(0,-2)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C相交于不同的两点P,Q,若
OM
=
OP
+
OQ
所对应的M点恰好落在椭圆上,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2,右焦点为F,直线l:x=2与x轴相交于点E,
FE
=
OF
,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C和点D在l上,且AD
∥
BC
∥
x轴.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)求证:直线AC经过线段EF的中点.
题型:不详
难度:
|
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