已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为45，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F1PF2=π3，且△PF1F2的面积为33，求椭圆的 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

4

5

，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F₁PF₂=

π

3

，且△PF₁F₂的面积为3

3

，求椭圆的方程．

设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁（-c，0）、F₂（c，0）．
因为点P在椭圆上，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．…（2分）
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos

π

3

=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|．…（6分）
又因S_△PF1F2=3

3

，所以

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin

π

3

=3

3

，得|PF₁|•|PF₂|=12．
所以4c²=4a²-36，又e=

c

a

=

4

5

，
故a²=25，c²=16，b²=9，
∴所求椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．…（12分）

已知方程

表示椭圆，则k的取值范围（　　）

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A．（3，5）

B．（5，+∞）

C．（-∞，3）

D．（3，4）∪（4，5）

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞o)的左焦点为F（-

2

，0），离心率e=

2

，M、N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：

OP

=

OM

+2

ON

，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，问：是否存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．

根据下列条件求圆锥曲线的标准方程．
（ I）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8的双曲线方程；
（ II）经过两点P1(

6

，1)，P2(-

3

，-

2

)的椭圆．

已知椭圆的短轴长为2

3

，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0），
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．

条件甲：3＞k＞1；
条件乙：方裎

表示椭圆．
条件甲成立是条件乙的（　　）

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