已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B,C两点,
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已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B,C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P. (1)求椭圆C1的方程; (2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由. |
答案
(1)+=1 (2)存在,有2个 |
解析
解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0), 由题意可知2a=+=8. ∴a=4,b2=a2-c2=12. ∴椭圆方程为+=1. (2)设B(x1,),C(x2,), 直线BC的斜率为k,则k=. 由y=x2,得y′=x. ∴点B、C处的切线l1、l2的斜率分别为x1,x2, ∴l1的方程为y-=x1(x-x1), 即y=x1x-, 同理,l2的方程为y=x2x-. 由 解得 ∴P(2k,2k-3). ∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|, ∴点P在椭圆C1:+=1上, ∴+=1. 化简得7k2-12k-3=0.(*) 由Δ=122-4×7×(-3)=228>0, 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个. |
举一反三
已知A,B分别是椭圆C1:+=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C2:-=1上异于A,B的任意一点,a>b>0. (1)若P(,),Q(,1),求椭圆C1的方程; (2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:k1·k2+k3·k4为定值. |
椭圆的焦距为2,则m的取值是 ( ) |
是方程表示椭圆或双曲线的 ( )A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充要条件 | D.不充分不必要条件 |
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P为椭圆=1上一点,M、N分别是圆(x+3) 2+y2=4和(x-3) 2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是 ( ) |
已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点.若,则该椭圆的离心率为 ( ) |
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