过点（0，4）、斜率为-1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A，B，如果OA⊥OB（O为原点）求P的值及抛物线的焦点坐标．

题型：不详难度：来源：

过点（0，4）、斜率为-1的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A，B，如果OA⊥OB（O为原点）求P的值及抛物线的焦点坐标．

答案

直线方程为y=-x+4，联立方程

y=-x+4 y=2px

，消去y得，x²-2（p+4）x+16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
所以：y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p，p＞0．
由已知OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，从而16-8p=0，得p=2．
所以抛物线方程为y²=4x，焦点坐标为F（1，0）．