试题分析:(1)依题意有 解得a=1,b=,c=2.所以,所求双曲线的方程为x2-=1.(4分) (2)当直线l⊥x轴时,||=6,不合题意.(5分) 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2). 由得, (3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0. 因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以3-k2≠0.(7分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则x1、x2是方程①的两个正根,于是有
所以k2>3。 (9分) 因为·=0,则PN⊥QN,又M为PQ的中点,||=10,所以|PM|=|MN|=|MQ|=|PQ|=5. 又|MN|=x0+2=5,∴x0=3, 而x0===3,∴k2=9,解得k=±3.(10分) ∵k=±3满足②式,∴k=±3符合题意. 所以直线l的方程为y=±3(x-2). 即3x-y-6=0或3x+y-6=0.(12分) 点评:中档题,涉及双曲线的题目,在近些年高考题中是屡见不鲜,往往涉及求标准方程,研究直线与双曲线的位置关系。求标准方程,主要考虑定义及a,b,c,e的关系,涉及直线于双曲线位置关系问题,往往应用韦达定理。本题利用“垂直关系”较方便的得到了直线的斜率,进一步确定得到直线方程。 |