(Ⅰ)连接![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022621-78430.png) 为坐标原点, 为右焦点),由题意知:椭圆的右焦点为 因为 是 的中位线,且 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022622-16611.png) 所以 ,故 …………2分 在 中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022623-40112.png) 即 ,又 ,解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022624-99988.png) 所求椭圆 的方程为 .………………………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得椭圆 :![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022624-24309.png) 设直线 的方程为 并代入![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022624-24309.png) 整理得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022625-47172.png) 由 得: ……………………5分 设![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022625-55773.png) 则由中点坐标公式得: …………………6分 ①当 时,有 ,直线 显然过椭圆 的两个顶点 ;………7分 ②当 时,则 ,直线 的方程为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022627-12166.png) 此时直线 显然不能过椭圆 的两个顶点 ; 若直线 过椭圆 的顶点 ,则 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022628-80597.png) 所以 ,解得: (舍去)………………………8分 若直线 过椭圆 的顶点 ,则 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022629-63710.png) 所以 ,解得: (舍去) ……………9分 综上,当 或 或 时, 直线 过椭圆 的顶点…………10分 (Ⅲ)法一:由(Ⅰ)得椭圆 的方程为 ……………………………11分 根据题意可设 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022630-76860.png) 则直线 的方程为 …① 过点 且与 垂直的直线方程为 …② ① ②并整理得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022631-51175.png) 又 在椭圆 上,所以 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022630-48787.png) 即①、②两直线的交点 在椭圆 上,所以 .…………14分 法二:由(Ⅰ)得椭圆 的方程为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022630-48787.png) 根据题意可设 ,则 , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022632-55338.png) 所以直线![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022632-70132.png)
,化简得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022633-10507.png) 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022633-53113.png) 因为 ,所以 ,则 ……………12分 所以 ,则 ,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026022634-22006.png) |