已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,且经过点(4,-10).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设F1、F2为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M
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已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,且经过点(4,-10).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设F1、F2为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
2
,且经过点(4,
-
10
).
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设F
1
、F
2
为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M满足F
1
M⊥F
2
M,求△MF
1
F
2
的面积.
答案
(Ⅰ)∵双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,
∴设双曲线的方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
,
∵离心率为
2
,
∴
e=
c
a
=
2
,∴a=b,
又∵双曲线过点
(4,-
10
)
,
∴
16
a
2
-
10
a
2
=1
,解得a
2
=6,
∴所求双曲线C的方程为
x
2
6
-
y
2
6
=1
.…(4分)
(Ⅱ)∵c
2
=a
2
+b
2
=12,∴
F
1
(-2
3
,0)
,
F
2
(2
3
,0)
,
设M(x
0
,y
0
),
则
F
1
M
=(
x
0
+2
3
,
y
0
)
,
F
2
M
=(
x
0
-2
3
,
y
0
)
,
∵F
1
M⊥F
2
M,∴
F
1
M
•
F
2
M
=0
,即
x
20
+
y
20
=12
,
又∵
x
20
-
y
20
=6
,∴
x
20
=9
,
y
20
=3
.
∴
S
△M
F
1
F
2
=
1
2
|
F
1
F
2
|•|
y
0
|=
1
2
×4
3
×
3
=6
.…(10分)
举一反三
已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,抛物线C上的点M(2,m)到焦点F的距离为3.
(Ⅰ)求抛物线C的方程:
(Ⅱ)过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A、B两点,若|AB|=4
6
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线的顶点在原点,焦点F与双曲线
x
2
-
y
2
4
=1
的右顶点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线l经过焦点F,且倾斜角为60°,与抛物线交于A、B两点,求:弦长|AB|.
题型:不详
难度:
|
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如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,|AB|=
4
2
3
,|CD|=2-
4
2
3
,AC⊥BD.M为CD的中点.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数λ
0
,使
MP
=λ
0
PN
,且P点到A、B的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(Ⅲ)过(0,
1
2
)的直线与轨迹E交于P、Q两点,求△OPQ面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=k(x+2)与双曲线
x
2
m
-
y
2
8
=1,有如下信息:联立方程组:
y=k(x+2)
x
2
m
-
y
2
8
=1
消去y后得到方程Ax
2
+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,△=B
2
-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,
3
]
B.[
3
,+∞)
C.(1,2]
D.[2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
,F
2
是椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
的两焦点,过点F
2
的直线交椭圆于A,B两点,在△AF
1
B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为______.
题型:不详
难度:
|
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