已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为-13,求动点P的轨迹方程.
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已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为-13,求动点P的轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知动点P与双曲线x
2
-y
2
=1的两个焦点F
1
,F
2
的距离之和为定值,且cos∠F
1
PF
2
的最小值为-
1
3
,求动点P的轨迹方程.
答案
∵x
2
-y
2
=1,∴c=
2
.
设|PF
1
|+|PF
2
|=2a(常数a>0),2a>2c=2
2
,
∴a>
2
由余弦定理有cos∠F
1
PF
2
=
|PF1|
2
+|PF2|
2
-|F1F2|
2
2|PF1||PF2|
=
(|PF1|+|PF2|)
2
-2|PF1||PF2|-|F1F2|
2
2|PF1||PF2|
=
2a
2
-4
|PF1||PF2|
-1
∵|PF
1
||PF
2
|≤(
|PF1|+|PF2|
2
)
2
=a
2
,
∴当且仅当|PF
1
|=|PF
2
|时,|PF
1
||PF
2
|取得最大值a
2
.
此时cos∠F
1
PF
2
取得最小值
2a
2
-4
a
2
-1,
由题意
2a
2
-4
a
2
-1=-
1
3
,
解得a
2
=3,
∴b
2
=a
2
-c
2
=3-2=1
∴P点的轨迹方程为
x
2
3
+y
2
=1.
举一反三
已知B为抛物线y
2
=2px(p>0)上的动点(除顶点),过B作抛物线准线的垂线,垂足计
为C.连接CO并延长交抛物线于A,(O为原点)
(1)求证AB过定点Q.
(2)若M(1,
P
),试确定B点的位置,使|BM|+|BQ|取得最小值,并求此最小值.
题型:不详
难度:
|
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与椭圆
x
2
49
+
y
2
24
=1
有相同的焦点且以y=
±
4
3
x
为渐近线的双曲线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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(1)双曲线的中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐近线方程
y=
4
3
x
,右焦点F(5,0),求双曲线方程;
(2)若抛物线x=
1
8
y
2
的准线经过F点且椭圆C经过P(2,3),求此时椭圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y
2
=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,其中O坐标原点.
(1)求弦AB的长;
(2)求三角形ABO的面积.
题型:不详
难度:
|
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直线y=x被曲线2x
2
+y
2
=2截得的弦长为______.
题型:不详
难度:
|
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